Programma
Gli spazi di Lebesgue. Teoremi di Fubini e Tonelli. Teorema della convergenza dominata. Serie di Fourier: significato e calcolo dei coefficienti. Disuguaglianza di Bessel, convergenza semplice, uniforme ed in L^2. Trasformata di Fourier. Proprietà algebrico-differenziali della TdF. Formula di inversione. Gli spazi di Schwartz. Identità di Plancherel. Funzioni L-trasformabili e trasformata di Laplace. Ascissa di convergenza. Relazione fra TdL e TdF. Richiami sulla trasformata di Laplace reale e complessa. Equazioni alle derivate parziali lineari. Equaioni del primo ordine: metodi delle caratteristiche, e metodo delle trasformate di Fourier. Equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. Equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche: metodi risolutivi
Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
L’esame constera’ di una prova scritta e di una prova orale.
CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
L'esame sarà volto a verificare le competenze acquisite nell'ambito della risoluzione di esercizi, e della comprensione degli strumenti teorici per essi necessari, nonché nella capacità di collegare i concetti approfonditi nel corso e di esprimersi con un linguaggio tecnico appropriato.
CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Il superamento della prova scritta è necessario per poter accedere alla prova orale. Le prove scritte si ritengono superate se si riporta una valutazione pari o superiore a 15. Il voto della prova orale dovrà essere di almeno 18. Requisiti minimi per il superamento delle prove è la comprensione di tutti i concetti di base presentati nel corso, e del loro utilizzo nella risoluzione di esercizi standardizzati. Per raggiungere una valutazione superiore bisognerà dimostrare di aver compreso a fondo le dimostrazioni presentate nel corso e di saper utilizzare gli strumenti forniti anche in esercizi meno standardizzati.
CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
Il voto finale sarà determinato dalle valutazioni riportate negli scritti, modificata in base all'esito della prova orale. Qualora la prova orale fosse negativa l'esame andrà ripetuto oppure il voto si potrà abbassare, qualora fosse positiva il voto si potrà alzare fino ad un massimo di 7 punti.
Testi consigliati
Nella pagina web del docente all'indirizzo https://dipmat.univpm.it/~franca/didattica/didattica.html Saranno disponibili delle dispense che contengono gran parte del materiale relativo al corso. Per la trattazione delle trasformate di Fourier e Laplace si consiglia il testo G. C. Barozzi, "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione", Zanichelli, Bologna, 2001
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Analisi I
PROGRAMMA
Elementi di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Sup e inf. Completezza. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Funzioni di R in R. Funzione inversa. Il valore assoluto. Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limite destro e sinistro. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti di funzioni monotone. Infinitesimi, infiniti. Simboli di Landau. Principio di cancellazione degli o-piccoli. Algebra degli o-piccoli e degli O-grandi. Limiti di successioni. Successioni monotone e limiti. Il numero e. Serie in R. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie telescopiche. Serie geometrica. Criteri di convergenza per le serie a termini di segno costante. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibnitz. Funzioni continue di R in R.Teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Tipi di discontinuità. Continuità della funzione composta, delle funzioni monotone e della funzione inversa. Funzioni derivabili di R in R. Regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra. Massimi e minimi locali ed assoluti. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Test di monotonia. I teoremi di De l'Hopital. I polinomi di Taylor e di Mac Laurin con resto nella forma di Peano. Formula di Taylor e riconoscimento di massimi e minimi. Calcolo di limiti e Formula di Taylor. Funzioni convesse, concave. Asintoti. Studio di funzione. Integrale di Riemann e proprietà. Criterio di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media e della media pesata. Teorema fondamentale del calcolo. Regole di integrazione. Integrazione delle funzioni razionali e di alcune funzioni irrazionali. Resto di Taylor in forma integrale e nelle forme di Cauchy, Lagrange, Schlomilch. Integrale indefinito. Integrali impropri. Criteri di integrabilità. Integrabilità di alcune funzioni elementari. Integrabilità assoluta. Serie e integrali impropri, criterio dell'integrale. Funzioni analitiche nel campo reale e serie di potenze. Serie di Fourier.
Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Prova scritta seguita da prova orale. Per accedere alla prova orale lo studente deve aver ottenuto almeno 15/30 nella prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta. Nel caso la prova orale dia esito negativo lo studente deve ripetere anche la prova scritta.
CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Lo studente dovrà sviluppare la capacità di risolvere problemi mediante applicazione dei teoremi, degli strumenti e dei metodi appresi a lezione.
CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Alle prove scritta/orale è assegnato un punteggio compreso tra zero/30 e 30/30.
CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
L'esito complessivo della valutazione è positivo se lo studente consegue almeno 15/30 nelle prova scritta ed ottiene una valutazione finale di almeno 18/30. Il voto finale è dato per i 2/5 dal voto ottenuto nella prova scritta e per i 3/5 da quello nella prova orale. La lode è riservata agli studenti che, avendo svolto tutte le prove in modo corretto e completo, abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella esposizione orale e nella redazione degli elaborati scritti.
Testi consigliati:
Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill.
Marcellini, Sbordone; Analisi Matematica 1; Liguori
Fusco, Marcellini, Sbordone; Analisi Matematica 2; Liguori
Giusti, Analisi Matematica 1; Bollati Boringhieri
Giusti, Analisi Matematica 2; Bollati Boringhieri
Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli
Elementi di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Sup e inf. Completezza. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Funzioni di R in R. Funzione inversa. Il valore assoluto. Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limite destro e sinistro. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti di funzioni monotone. Infinitesimi, infiniti. Simboli di Landau. Principio di cancellazione degli o-piccoli. Algebra degli o-piccoli e degli O-grandi. Limiti di successioni. Successioni monotone e limiti. Il numero e. Serie in R. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie telescopiche. Serie geometrica. Criteri di convergenza per le serie a termini di segno costante. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibnitz. Funzioni continue di R in R.Teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Tipi di discontinuità. Continuità della funzione composta, delle funzioni monotone e della funzione inversa. Funzioni derivabili di R in R. Regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra. Massimi e minimi locali ed assoluti. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Test di monotonia. I teoremi di De l'Hopital. I polinomi di Taylor e di Mac Laurin con resto nella forma di Peano. Formula di Taylor e riconoscimento di massimi e minimi. Calcolo di limiti e Formula di Taylor. Funzioni convesse, concave. Asintoti. Studio di funzione. Integrale di Riemann e proprietà. Criterio di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media e della media pesata. Teorema fondamentale del calcolo. Regole di integrazione. Integrazione delle funzioni razionali e di alcune funzioni irrazionali. Resto di Taylor in forma integrale e nelle forme di Cauchy, Lagrange, Schlomilch. Integrale indefinito. Integrali impropri. Criteri di integrabilità. Integrabilità di alcune funzioni elementari. Integrabilità assoluta. Serie e integrali impropri, criterio dell'integrale. Funzioni analitiche nel campo reale e serie di potenze. Serie di Fourier.
Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Prova scritta seguita da prova orale. Per accedere alla prova orale lo studente deve aver ottenuto almeno 15/30 nella prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta. Nel caso la prova orale dia esito negativo lo studente deve ripetere anche la prova scritta.
CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Lo studente dovrà sviluppare la capacità di risolvere problemi mediante applicazione dei teoremi, degli strumenti e dei metodi appresi a lezione.
CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Alle prove scritta/orale è assegnato un punteggio compreso tra zero/30 e 30/30.
CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
L'esito complessivo della valutazione è positivo se lo studente consegue almeno 15/30 nelle prova scritta ed ottiene una valutazione finale di almeno 18/30. Il voto finale è dato per i 2/5 dal voto ottenuto nella prova scritta e per i 3/5 da quello nella prova orale. La lode è riservata agli studenti che, avendo svolto tutte le prove in modo corretto e completo, abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella esposizione orale e nella redazione degli elaborati scritti.
Testi consigliati:
Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill.
Marcellini, Sbordone; Analisi Matematica 1; Liguori
Fusco, Marcellini, Sbordone; Analisi Matematica 2; Liguori
Giusti, Analisi Matematica 1; Bollati Boringhieri
Giusti, Analisi Matematica 2; Bollati Boringhieri
Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli
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- Svolgimento appelli (a pagamento)
- Dimostrazione dei principali teoremi necessari e sufficienti per superare l'orale di analisi ( a pagamento )
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